矩阵的秩及其求法

矩阵秩的概念k阶子式矩阵的秩

矩阵秩的求法1、子式判别法（定义）2、用初等行变换求矩阵的秩

满秩矩阵相关性质

矩阵秩的概念

k阶子式

定义1： 设

A

=

(

a

i

j

)

m

×

n

A=(a_{ij})_{m\times n}

A=(aij​)m×n​在

A

A

A中任取

k

k

k行

k

k

k列交叉处元素按原相对位置组成的

k

k

k

(

1

≤

k

≤

m

i

n

{

m

.

n

}

)

(1\leq k\leq min\lbrace m.n \rbrace)

(1≤k≤min{m.n})阶行列式，称为

A

A

A的一个

k

k

k阶子式。

m

×

n

m\times n

m×n的矩阵

A

A

A共有

C

m

k

C

n

k

C^k_mC^k_n

Cmk​Cnk​个

k

k

k阶子式。

例如： 矩阵A的第一、二行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为

D

2

′

=

∣

2

4

3

1

∣

D'_2=\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 1\\ \end{matrix} \right|

D2′​=∣∣∣∣​23​41​∣∣∣∣​ 矩阵A的第一、三行，第一、三列相交处的元素所构成的二阶子式为

D

2

′

′

=

∣

1

3

1

1

∣

D''_2=\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 1\\ \end{matrix} \right|

D2′′​=∣∣∣∣​11​31​∣∣∣∣​

例如：

A

=

(

1

2

3

4

1

3

4

1

1

4

1

2

)

A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right)

A=⎝⎛​111​234​341​412​⎠⎞​共有

C

3

2

C

4

2

=

18

C^2_3C^2_4=18

C32​C42​=18个二阶子式，上面那两个就是其中之一。 共有

C

3

3

C

4

3

=

4

C^3_3C^3_4=4

C33​C43​=4个三阶子式。

D

3

=

∣

1

3

4

1

4

1

1

1

2

∣

D_3=\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|

D3​=∣∣∣∣∣∣​111​341​412​∣∣∣∣∣∣​就是A的一个三阶子式。

矩阵的秩

定义2： 设

A

=

(

a

i

j

)

m

×

n

A=(a_{ij})_{m\times n}

A=(aij​)m×n​，有r阶子式不为0，任何r+1子式（如果存在的话）全为0，称r为矩阵A的秩，记做R(A)或秩(A)。

矩阵秩的求法

1、子式判别法（定义）

例1

A

=

(

1

2

3

0

0

1

0

1

0

0

1

0

)

求

R

(

A

)

\qquad A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \qquad 求 R(A)

A=⎝⎛​100​210​301​010​⎠⎞​求R(A)。

解：

∣

1

2

3

0

1

0

0

0

1

∣

=

1

≠

0

\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right|=1\neq0

∣∣∣∣∣∣​100​210​301​∣∣∣∣∣∣​=1​=0 存在一个三阶子式不为0，A没有四阶子式，所以

R

(

A

)

=

3

R(A)=3

R(A)=3。

例2

C

=

(

1

1

0

0

1

0

0

0

1

)

D

=

(

1

2

5

0

3

4

0

0

0

)

E

=

(

2

1

2

3

5

0

8

1

5

3

0

0

0

7

2

0

0

0

0

0

)

\qquad C=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \ \ D=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) \ \ E=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 8 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)

C=⎝⎛​100​110​001​⎠⎞​ D=⎝⎛​100​230​540​⎠⎞​ E=⎝⎜⎜⎛​2000​1800​2100​3570​5320​⎠⎟⎟⎞​

R

(

C

)

=

3

，

R

(

D

)

=

2

，

R

(

E

)

=

3

R(C)=3，R(D)=2，R(E)=3

R(C)=3，R(D)=2，R(E)=3

例3

A

=

(

a

1

1

1

a

1

1

1

a

)

如

果

R

(

A

)

<

3

，

求

a

\qquad A=\left( \begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \\ \end{matrix} \right) 如果 R(A)<3，求a

A=⎝⎛​a11​1a1​11a​⎠⎞​如果R(A)<3，求a。

R

(

A

)

<

3

R(A)<3

R(A)<3，A的所有三阶子式全为0，也就是A的行列式为0。解得

a

=

1

或

a

=

−

2

a=1或a=-2

a=1或a=−2

2、用初等行变换求矩阵的秩

定理：矩阵初等变换不改变矩阵的秩

注：

r

i

↔

r

j

r_i \leftrightarrow r_j

ri​↔rj​ 只改变子行列式的符号

k

r

i

kr_i

kri​ 是A中对应子式的k倍

r

i

+

k

r

j

r_i+kr_j

ri​+krj​ 是行列式运算的性质

将 矩阵

A

A

A 用初等行变换化为 阶梯型矩阵

B

B

B ，

R

(

A

)

=

R

(

B

)

=

R(A)=R(B)=

R(A)=R(B)=矩阵

B

B

B的非零行行数

例4

A

=

(

1

0

2

−

4

2

1

3

−

6

−

1

−

1

−

1

2

)

求

R

(

A

)

\qquad A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 3 & -6 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right) \qquad 求 R(A)

A=⎝⎛​12−1​01−1​23−1​−4−62​⎠⎞​求R(A)

解：

A

⟶

r

2

−

2

r

1

(

1

0

2

−

4

0

1

−

1

2

−

1

−

1

−

1

2

)

⟶

r

3

+

r

1

(

1

0

2

−

4

0

1

−

1

2

0

−

1

1

−

2

)

⟶

r

3

+

r

2

(

1

0

2

−

4

0

1

−

1

2

0

0

0

0

)

R

(

A

)

=

2

\qquad A \stackrel{r_2-2r_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \\ \end{matrix} \right) \stackrel{r_3+r_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right) \stackrel{r_3+r_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) \qquad R(A)=2

A⟶r2​−2r1​​⎝⎛​10−1​01−1​2−1−1​−422​⎠⎞​⟶r3​+r1​​⎝⎛​100​01−1​2−11​−42−2​⎠⎞​⟶r3​+r2​​⎝⎛​100​010​2−10​−420​⎠⎞​R(A)=2

例5

\qquad

求矩阵

A

=

(

4

−

2

1

1

2

−

2

−

1

8

−

7

2

14

−

13

)

A=\left( \begin{matrix} 4 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 8 & -7 \\ 2 & 14 & -13 \\ \end{matrix} \right)

A=⎝⎜⎜⎛​41−12​−22814​1−2−7−13​⎠⎟⎟⎞​的秩

解：

A

⟶

r

1

↔

r

2

(

1

2

−

2

4

−

2

1

−

1

8

−

7

2

14

−

13

)

—

r

2

−

4

r

1

r

3

+

r

1

r

4

−

2

r

1

⟶

(

1

2

−

2

0

−

10

9

0

10

−

9

0

10

−

9

)

—

r

3

+

r

2

r

4

+

r

2

⟶

(

1

2

−

2

0

10

−

9

0

0

0

0

0

0

)

=

B

R

(

A

)

=

R

(

B

)

=

2

A \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & 1 \\ -1 & 8 & -7 \\ 2 & 14 & -13 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {r_2-4r_1} \\ {r_3+r_1} \\ {r_4-2r_1} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & -10 & 9 \\ 0 & 10 & -9 \\ 0 & 10 & -9 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {r_3+r_2} \\ {r_4+r_2} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 10 & -9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)=B \\ R(A)=R(B)=2

A⟶r1​↔r2​​⎝⎜⎜⎛​14−12​2−2814​−21−7−13​⎠⎟⎟⎞​—r2​−4r1​r3​+r1​r4​−2r1​​⟶⎝⎜⎜⎛​1000​2−101010​−29−9−9​⎠⎟⎟⎞​—r3​+r2​r4​+r2​​⟶⎝⎜⎜⎛​1000​21000​−2−900​⎠⎟⎟⎞​=BR(A)=R(B)=2

例6

\qquad

设矩阵

A

=

(

1

−

1

1

2

3

λ

−

1

2

5

3

μ

6

)

A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & \lambda & -1 & 2 \\ 5 & 3 & \mu & 6 \\ \end{matrix} \right)

A=⎝⎛​135​−1λ3​1−1μ​226​⎠⎞​，且

R

(

A

)

=

2

R(A)=2

R(A)=2，求

λ

\lambda

λ，

μ

\mu

μ

解：

A

=

(

1

−

1

1

2

3

λ

−

1

2

5

3

μ

6

)

⟶

(

1

−

1

1

2

0

λ

+

3

−

4

−

4

0

8

μ

−

5

−

4

)

\qquad A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & \lambda & -1 & 2 \\ 5 & 3 & \mu & 6 \\ \end{matrix} \right) \longrightarrow \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & \lambda+3 & -4 & -4 \\ 0 & 8 & \mu-5 & -4 \\ \end{matrix} \right)

A=⎝⎛​135​−1λ3​1−1μ​226​⎠⎞​⟶⎝⎛​100​−1λ+38​1−4μ−5​2−4−4​⎠⎞​

∵

R

(

A

)

=

2

∴

λ

+

3

8

=

−

4

μ

−

5

=

−

4

−

4

∴

λ

=

5

,

μ

=

1

\because R(A)=2 \qquad \therefore \frac{\lambda+3}{8}=\frac{-4}{\mu-5}=\frac{-4}{-4} \qquad \therefore \lambda=5,\mu=1

∵R(A)=2∴8λ+3​=μ−5−4​=−4−4​∴λ=5,μ=1

满秩矩阵

定义3：

A

\qquad A

A为

n

n

n阶方阵时，

R

(

A

)

=

n

\qquad R(A)=n

R(A)=n，称

A

A

A是满秩阵，（非奇异矩阵）

R

(

A

)

<

n

\qquad R(A)

R(A)

A

A

A是降秩阵，（（奇异矩阵）

∴

\therefore \quad

∴ 易知：

R

(

A

)

=

n

⟺

∣

A

∣

≠

0

R(A)=n \quad \Longleftrightarrow \quad |A| \neq 0

R(A)=n⟺∣A∣​=0 对于满秩方阵

A

A

A施行初等行变换可以化为单位阵

E

E

E，又根据初等阵的作用：每对

A

A

A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘

A

A

A，由此得到下面的定理

定理： 设

A

A

A是满秩矩阵，则存在一系列初等方阵

P

1

,

P

2

,

⋯

,

P

s

P_1,P_2,\cdots,P_s

P1​,P2​,⋯,Ps​，使得

P

s

P

s

−

1

,

⋯

,

P

2

P

1

A

=

E

P_sP_{s-1},\cdots,P_2P_1A=E

Ps​Ps−1​,⋯,P2​P1​A=E

例7

A

=

(

1

2

3

2

1

2

3

1

2

)

—

r

2

−

2

r

1

r

3

−

3

r

1

⟶

(

1

2

3

0

−

3

−

4

0

−

2

−

3

)

—

r

1

+

r

3

r

2

−

r

3

⟶

(

1

0

0

0

−

1

−

1

0

−

2

−

3

)

—

(

−

r

3

+

2

r

2

)

⟶

(

1

0

0

0

−

1

−

1

0

0

1

)

—

(

−

r

2

−

r

3

)

⟶

(

1

0

0

0

1

0

0

0

1

)

=

E

A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {r_2-2r_1} \\ {r_3-3r_1} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -4 \\ 0 & -2 & -3 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {r_1+r_3} \\ {r_2-r_3} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -3 \\ \end{matrix} \right) — \\ \begin{matrix} {(-r_3+2r_2)} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) —\begin{matrix} {(-r_2-r_3)} \end{matrix}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)=E

A=⎝⎛​123​211​322​⎠⎞​—r2​−2r1​r3​−3r1​​⟶⎝⎛​100​2−3−2​3−4−3​⎠⎞​—r1​+r3​r2​−r3​​⟶⎝⎛​100​0−1−2​0−1−3​⎠⎞​—(−r3​+2r2​)​⟶⎝⎛​100​0−10​0−11​⎠⎞​—(−r2​−r3​)​⟶⎝⎛​100​010​001​⎠⎞​=E

∴

R

(

A

)

=

3

\therefore \quad R(A)=3

∴R(A)=3，

A

A

A为满秩方阵。此过程相当于：

E

[

(

−

1

)

2

−

3

]

×

E

[

(

−

1

)

3

+

(

2

)

2

]

×

E

[

2

−

3

]

×

E

[

1

+

3

]

×

E

[

3

−

(

3

)

1

]

×

E

[

2

−

(

2

)

1

]

×

A

=

E

\qquad E[(-1)2-3] \times E[(-1)3+(2)2] \times E[2-3] \times E[1+3] \times E[3-(3)1] \times E[2-(2)1] \times A=E

E[(−1)2−3]×E[(−1)3+(2)2]×E[2−3]×E[1+3]×E[3−(3)1]×E[2−(2)1]×A=E

相关性质

转置后秩不变

R

(

A

)

≤

min

⁡

{

m

,

n

}

R(A) \leq \min\{m,n\}

R(A)≤min{m,n}，

A

A

A是m行n列矩阵

R

(

k

A

)

=

R

(

A

)

R(kA) = R(A)

R(kA)=R(A)，

k

k

k不等于0

R

(

A

)

=

0

⟺

A

=

0

R(A)=0 \Longleftrightarrow A=0

R(A)=0⟺A=0

R

(

A

+

B

)

≤

R

(

A

)

+

R

(

B

)

R(A+B) \leq R(A)+R(B)

R(A+B)≤R(A)+R(B)